METODE BEDA HINGGA

 NAMA    :   ADI IRIYANTO RAHMAN
NPM        :  17 630 003


                                                   METODE BEDA HINGGA

Salah satu cara utk menyelesaikan persamaan differential adalah dengan menggunakan metode beda hingga atau yg lbh dikenal dgn finite difference method. Metode ini menggunakan pendekatan ekspansi Taylor di titik acuannya (x). Ada tiga jenis beda (difference) yg bisa kita gunakan utk mencari nilai f(x+∆x). Ketiga jenis beda ini disebut forward difference, backward difference, dan central difference. Supaya gak lupa, penurunannya saya berikan di sini.
Forward difference
Utk forward difference, kita ingin mencari nilai suatu fungsi jika independent variablenya digeser ke depan (makanya namanya forward difference) sebesar ∆x. Sederhananya, jika kita tahu f(x), maka berapakah f(x+∆x)? Ekspansi Taylor dituliskan sbb:

Secara umum, symbol ∂f/∂x*∆x menunjukkan kemiringan (gradient) nilai fungsi f pada f(x) jika x digeser sebesar ∆x. Sementara symbol ∂2f/∂x2 menunjukkan lengkungan (curvature) dari titik f(x) tsb jika x digeser sebesar ∆x.
Oleh karena nilai setelah term pertama di atas tidak signifikan dibandingkan dgn term kedua, maka bisa kita bilang klo:

Hubungan di atas menunjukkan kemiringan (gradient) dari fungsi tsb sebesar ∆x ke depan (lbh besar dari x).

Backward difference
Pertanyaan yg sama jg kita berikan utk backward difference. Jika kita tahu f(x), maka berapakah f(x-∆x)? Atau berapakah nilai fungsi tsb jika independent variablenya digeser ke belakang sebesar ∆x. Ekspansi Taylor dituliskan sbb:

Hubungan terakhir ini menunjukkan kemiringan (gradient) dari fungsi tsb sebesar ∆x ke belakang (lbh kecil dari x).

Central difference
Jenis bedar ketiga adalah beda tengah, di mana kita akan mencari kemiringan dari fungsi tsb dgn menggunakan perbedaan nilai fungsinya dari beda depan dan beda belakang. Secara matematis, beda tengah adalah penjumlahan dari beda depan dan beda belakang.


Second order derivation
Setelah pendekatan orde satu bisa kita turunkan spt di atas, skrg kita bisa menurunkan persamaan utk pendekatan orde dua. Penurunan di bawah ini saya mulai dari mengambil persamaan orde satu dari beda depan (forward difference) yg mengandung penurunan orde dua (second order differential). Fungsi ∂2f/∂x2saya keluarkan, dan persamaan utk ∂f/∂x nya saya ambil dari pendekatan beda belakang (backward difference).


Dengan adanya dua pendekatan (orde satu dan orde dua) ini, kita bisa bekerja dgn contoh berikut:

Penyelesaian analitiknya adalah sbb:

Kondisi batas yg kita ketahui adalah sbb:
u pada r = 2 atau u(2) = 0.008
u(6.5) = 0.003
Yg ditanyakan adalah berapa nilai u di antara kedua nilai batas di atas.

Dengan metode beda hingga ini, kita akan membuat node2. Katakanlah kita buat 4 node. Node yg pertama adalah saat u(2), dan node yg keempat adalah u(6.5). 4 node yg kita pilih terdiri atas 3 rentang, yakni rentang node 1-2, rentang node 2-3, dan rentang node 3-4. Jarak rentang tsb adalah (6.5-2)/3 = 1.5. Maka, node 2 adalah 2+1.5 = 3.5. Node 3 adalah 3.5+1.5 =5. Yg skrg ingin kita ketahui tentunya adalah nilai u pada saat r = 3.5 atau u(3.5) dan u(5).
Utk yg pertama ini, kita akan gunakan pendekatan beda maju utk orde satu. Dengan memasukkan pendekatan yg udah kita turunkan ke persamaan diferensial di atas, kita dapat:
 , dgn i = node.

Persamaan ini kita utak-atik utk mendapatkan penyelesaian utk ui, sehingga kita bisa menyusun persamaan utk u2 dan u3. Sementara u1 dan u4 sudah kita ketahui sebagai kondisi batas. Klo saya selesaikan di excel, akan didapat sbb:

Perbandingan hasil pendekatan ini dengan hasil analitiknya menghasilkan error sebesar 6.66% utk u2 atau u(3.5) dan error sebesar 5.12% utk u3 atau u(5).
Jika saya gunakan beda tengah utk pendekatan orde satu, akan diperoleh hasil sbb:

Hasil perhitungan dgn pendekatan beda tengah ternyata lbh akurat drpd pendekatan beda maju (dan jg drpd beda mundur). Error utk u(3.5) menjadi 2.43% dan error utk u(5) menjadi 1.68%.
Jika saya menggunakan node yg lbh banyak, dalam artian saya melakukan perhitungan yg lbh detail, dengan 8 node misalnya. Dan tetap menggunakan beda tengah, akan didapat hasil sbb:

Spt yg diharapkan klo hasil perhitungan dgn node yg semakin banyak atau perhitungan semakin detail, maka hasilnya akan mendekati hasil analitiknya. Error yg diperoleh utk setiap r di atas semuanya di bawah 0.5%.

MID STATISTIK

Contoh Soal

Berikut ini dikemukakan Chi Kuadrat untuk menguji hipotesis deskriptif (satu sampel) yang terdiri atas empat kategori atau kelas.

·         Contoh Soal untuk empat kategori

Telah dilakukan penelitian untuk mengetahui bagaimana kemungkinan beberapa warna mobil dipilih oleh masyarakat Wajo. Berdasarkan pengamatan selama 1 minggu terhadap mobil-mobil pribadi ditemukan 1000 berwarna biru, 900 berwarna merah, 600 berwarna putih, dan 500 berwarna yang lain.

Ho : Peluang masyarakat Wajo untuk memilih empat warna mobil adalah sama.

Ha : Peluang masyarakat Wajo untuk memilih empat warna mobil tidak sama.

Untuk menguji hipotesis tersebut di atas, maka data hasil pengamatan perlu disusun ke dalam tabel penolong, seperti ditunjukkan pada Tabel berikut. Karena dalam penelitian ini terdiri dari empat kategori, maka derajat kebebasannya adalah (dk) = 4 -1 = 3.

FREKUENSI YANG DIPEROLEH DAN DIHARAPKAN

DARI 300 WARNA MOBIL YANG DIPILIH

OLEH MASYARAKAT WAJO

Warna Mobil	fo	fh	fo - fh	(fo – fh)2	(fo – fh)2/ fh
Biru Merah Putih Warna lain	1.000 900 600 500	750 750 750 750	250 150 -150 -250	62.500 22.500 22.500 62.500	83,33 30,00 30,00 83,33
Jumlah	3000	3000	0	170.000	226,67

Catatan: Frekuensi yang diharapkan (f_h) untuk setiap kategori adalah 3000 : 4 = 750

Berdasarkan dk = 3 dan kesalahan 5%, maka diperoleh harga Chi Kuadrat Tabel = 7,815. Ternyata harga Chi Kuadrat hitung lebih besar dari harga Chi Kuadrat Tabel (226,67 > 7,815). Karena (χ²) hitung > dari (χ²) tabel, maka Ho ditolak dan Ha diterima. Ini berarti peluang masyarakat Wajo untuk memilih empat empat warna mobil berbeda atau tidak sama. Berdasarkan data sampel ternyata warna mobil biru yang mendapat peluang tertinggi untuk dipilih masyarakat Wajo. Ini juga berarti mobil warna biru yang paling laku di masyarakat itu.

Contoh Kasus dalam pengerjaan pengujian signifikansi (hipotesis)

Suatu kegiatan penelitian eksperimental, telah berhasil menemukan metode “ABG” sebagai metode baru untuk mengajarkan mata kuliah Statistika II. Dalam rangka uji coba terhadap efektifitas atau keampuhan metode baru itu, dilaksanakan penelitian lanjutan dengan mengajukan Hipotesis Nol (Nihil) yang mengatakan : Tidak terdapat perbedaan yang signifikan nilai Statistika II antara sebelum dan sesudah di terapkannya metode “ABG” sebagai metode mengajar mahasiswa UIB sem 6. Dalam rangka pengujian ini diambil sampel sebanyak 20 mahasiswa. Gunakan taraf kepercayaan 95 % (alfa=5% ) untuk menguji pernyataan (Hipotesis) tersebut.

Datanya Sebagai berikut:

Nama	Nilai Statistika II
	Sebelum	Sesudah
A	78	75
B	60	68
C	55	59
D	70	71
E	57	63
F	49	54
G	68	66
H	70	74
I	81	89
J	30	33
K	55	51
L	40	50
M	63	68
N	85	83
O	70	77
P	62	69
Q	58	73
R	65	65
S	75	76
T	69	86

Maka Langkah -langkah yang perlu dilakukan:

1. Menentukan Hipotesis yang digunakan, yaitu: 

(Tidak terdapat perbedaan yang signifikan antara hasil belajar sebelum dan sesudah)
(Terdapat perbedaan yang signifikan hasil belajar sebelum dan sesudah) 

2. Tetapkan titik kritis yaitu alfa 5%
3. Tentukan daerah kritis, dengan db = n -1=20-1=19
4. Tentukan t hitung
• Memulai dengan menghitung D(selisih)
• .
• Menghitung Standar Deviasi: 
• Menghitung t hitung:
5. Lakukan uji signifikansi

Diketahui t tabel = 2,093. Sehingga |t hitung| > t tabel

Sehingga dapat disimpulkan:

Ho ditolak , sehingga disimpulkan bahwa terdapat perbedaan yang signifikan antara hasil belajar statistika II sebelum dan sesudah diterapkannya Metode “ABG”.

ANALISIS REGRESI SEDERHANA

NAMA: ADI IRIYANTO RAHMAN

NO. STAMBUK: 17 630 003

 

Analisis Regresi Sederhana adalah sebuah metode pendekatan untuk pemodelan hubungan antara satu variabel dependen dan satu variabel independen. Dalam model regresi, variabel independen menerangkan variabel dependennya. Dalam analisis regresi sederhana, hubungan antara variabel bersifat linier, dimana perubahan pada variabel X akan diikuti oleh perubahan pada variabel Y secara tetap. Sementara pada hubungan non linier, perubahaan variabel X tidak diikuti dengan perubahaan variabel y secara proporsional. seperti pada model kuadratik, perubahan x diikuti oleh kuadrat dari variabel x. Hubungan demikian tidak bersifat linier.
Secara matematis model analisis regresi linier sederhana dapat digambarkan sebagai berikut:
Y = A + BX + e
Y adalah variabel dependen atau respon
A adalah intercept atau konstanta
B adalah koefisien regresi atau slope
e adalah residual atau error
Secara praktis analisis regresi linier sederhana memiliki kegunaan sebagai berikut:
1. Model regresi sederhana dapat digunakan untuk forecast atau memprediksi nilai Y. Namun sebelum melakukan forecasting, terlebih dahulu harus dibuat model atau persamaan regresi linier. Ketika model yang fit sudah terbentuk maka model tersebut memiliki kemampuan untuk memprediksi nilai Y berdasarkan variabel Y yang diketahui. Katakanlah sebuah model regresi digunakan untuk membuat persamaan antara pendapatan (X) dan konsumsi (Y). Ketika sudah diperoleh model yang fit antara pendapatan dengan konsumsi, maka kita dapat memprediksi berapa tingkat konsumsi masyarakat ketika kita sudah mengetahui pendapatan masyarakat.
2. Mengukur pengaruh variabel X terhadap variabel Y. Misalkan kita memiliki satu serial data variabel Y, melalui analisis regresi linier sederhana kita dapat membuat model variabel-variabel yang memiliki pengaruh terhadap variabel Y. Hubungan antara variabel dalam analisis regresi bersifat kausalitas atau sebab akibat. Berbeda halnya dengan analisis korelasi yang hanya melihat hubungan asosiatif tanpa mengetahui apa variabel yang menjadi sebab dan apa variabel yang menjadi akibat.
Model regresi linier sederhana yang baik harus memenuhi asumsi-asumsi berikut:
1. Eksogenitas yang lemah, kita harus memahami secara mendasar sebelum menggunakan analisis regresi bahwa analisis ini mensyaratkan bahwa variabel X bersifat fixed atau tetap, sementara variabel Y bersifat random. Maksudnya adalah satu nilai variabel X akan memprediksi variabel Y sehingga ada kemungkinan beberapa variabel Y. dengan demikian harus ada nilai error atau kesalahan pada variabel Y. Sebagai contoh ketika pendapatan (X) seseorang sebesar Rp 1 juta rupiah, maka pengeluarannya bisa saja, Rp 500 ribu, Rp 600 ribu, Rp 700 ribu dan seterusnya.
2. Linieritas, seperti sudah dijelaskan sebelumnya bahwa model analisis regresi bersifat linier. artinya kenaikan variabel X harus diikuti secara proporsional oleh kenaikan variabel Y. Jika dalam pengujian linieritas tidak terpenuhi, maka kita dapat melakukan transformasi data atau menggunakan model kuadratik, eksponensial atau model lainnya yang sesuai dengan pola hubungan non-linier.
3. Varians error yang konstan, ini menjelaskan bahwa varians error atau varians residual yang tidak berubah-ubah pada respon yang berbeda. asumsi ini lebih dikenal dengan asumsi homoskedastisitas. Mengapa varians error perlu konstan? karena jika konstan maka variabel error dapat membentuk model sendiri dan mengganggu model. Oleh karena itu, penanggulangan permasalahan heteroskedastisitas/non-homoskedastisitas dapat diatasi dengan menambahkan model varians error ke dalam model atau model ARCH/GARCH.
4. Autokorelasi untuk data time series, jika kita menggunakan analisis regresi sederhana untuk data time series atau data yang disusun berdasarkan urutan waktu, maka ada satu asumsi yang harus dipenuhi yaitu asumsi autokorelasi. Asumsi ini melihat pengaruh variabel lag waktu sebelumnya terhadap variabel Y. Jika ada gangguan autokorelasi artinya ada pengaruh variabel lag waktu sebelumnya terhadap variabel Y. sebagai contoh, model kenaikan harga BBM terhadap inflasi, jika ditemukan atukorelasi artinya terdapat pengaruh lag waktu terhadap inflasi. Artinya inflasi hari ini atau bulan ini bukan dipengaruhi oleh kenaikan BBM hari ini namun dipengaruhi oleh kenaikan BBM sebelumnya (satu hari atau satu bulan tergantung data yang dikumpulkan)

UJI ANOVA

NAMA       :   ADI IRIYANTO RAHMAN

NPM           :   17 630 003

UJI ANOVA ( UJI F )

Anova Satu Arah (One Way Anova) – seperti yang dijelaskan sebelumnya bahwa Analysis of variance atau Anova merupakan salah satu metode analisis statistika yang digolongkan ke dalam kelompok statistik inferensial. Dalam artikel mengenai Analisis varians atau analisis ragam kita telah membagi 2 analisis berdasarkan kebutuhannya yaitu Anova satu arah dan Anova dua arah.

ANOVA SATU ARAH

Kapan Anova satu arah digunakan?

Pada dasarnya Anova dapat digunakan untuk melakukan pengujian perbandingan rata-rata beberapa kelompok, biasanya terdiri dari lebih dari dua kelompok. Penggunaan Anova kelompok yang berasal dari sampel yang berbeda antar kelompok.

Misalkan Jika kita ingin melihat pengaruh  bentuk Kemasan suatu produk terhadap penjualan. Jika faktor yang menjadi perhatian kita untuk selanjutnya diuji adalah berupa satu faktor, misalnya pengaruh  bentuk kemasan suatu produk pada tingkat penjualan, maka ANOVA yang kita gunakan adalah satu arah.

Disebut anova satu arah (One Way Anova), karena pusat perhatian kita hanya satu, dalam hal ini bentuk kemasan suatu produk. Tetapi jika pusat perhatian kita, selain jenis kemasan, juga tertuju pada pengaruh aroma pada tingkat penjualan, maka digunakan ANOVA dua arah (Two Way Anova).

Pada dasarnya Anova satu arah juga dapat digunakan untuk kasus yang diuji menggunakan Anova dua arah, namun kita harus melakukan pengujian satu persatu, sehingga jauh lebih efektif jika digunakan Anova dua arah.

Baca juga :

§  Perbedaan antara Anova satu arah dan Anova dua arah

ASUMSI YANG HARUS DIPENUHI DALAM ANALISIS RAGAM (ANOVA)

§  Data yang digunakan adalah data yang berdistribusi normal, karena akan digunakan statistik uji F

§  Varian atau ragam nya bersifat homogen. Istilah tersebut lebih dikenal sebagai homoskedastisitas, di mana hanya terdapat satu estimator untuk variasi dalam sampel.

§  Masing-masing sampel bersifat independen

§  Komponen-komponen modelnya bersifat aditif

HIPOTESIS ANOVA SATU ARAH

Hipotesis yang digunakan dalam Anova satu arah adalah sebagai berikut:

§  H0: μ1 = μ2 = μ3 = … = μn, Tidak terdapat perbedaan signifikan antara rata-rata hitung dari n kelompok.

§  H1: μ1 ≠ μ2 ≠ μ3 ≠ … ≠ μn, Ada perbedaan yang signifikan antara rata-rata hitung dari n kelompok

Dalam analisis ragam Anova hipotesis yang digunakan Hanya berupa hipotesis untuk kasus dua arah. Artinya hipotesis yang digunakan untuk Anova satu arah dan Anova dua arah adalah sama. Perlu diketahui bahwa dalam analisis ragam Anova kita tidak dapat menentukan mana kelompok yang benar-benar berbeda. Kemampuan analisis ragam Anova hanya mampu mendeteksi Apakah ada perbedaan rata-rata dari beberapa kelompok tersebut.

Misalkan ada k  populasi yang berdistribuwsi normal, dengan rata-rata populasinya, x¯1,x¯2,…,x¯n serta ragam populasinya sama walaupun nilainya tidak diketahui, bias disusun dalam bentuk table:

Keterangan:

X_ij = individu (elemen) ke-i dari sampel j

k   = banyaknya populasi/ perlakuan

n_j  = banyaknya individu dalam sampel j

N = S n_j ( j = 1, 2, 3, …, k) = total observasi

T_j = jumlah individu dalam sampel j

T =  T₁ + T₂ + … + T_k = jumlah seluruh individu

Untuk mengetahui apakah ada perbedaan rata-rata populasi, dilakukan pengujian hipotesis dengan analisis varians.

Prosedur Pengujian:

1.  H₀ : μ₁ =  μ₂  =  …  =  μ_k (semua sama)

      H₁  : Tidak semuanya sama (minimal sepasang berbeda, μ_i ≠ μ_j untuk i ≠ j)

2. Keputusan menolak atau menerima H₀, dapat ditentukan dengan membuat table ANOVA sebagai berikut:

Keterangan:

SSB = Sum Square Between Group = Jumlah Kuadrat Antar Grup =(∑T21ni)−T2N

SST = Total Sum Square = Jumlah Kuadrat Total =(X2ij)−T2N

SSW = Sum Square Within Group = Jumlah Kuadrat Dalam Grup (Error) = SST – SSB

MSB = SSB/ v₁

MSW = SSW/ v₂

Statistik uji yang digunakan adalah F_hitung  

Fhitung  = MSB/MSW

Tolak H₀ jika F_hitung > F_tabel

CONTOH SOAL UJI ANOVA SATU ARAH

Contoh Kasus:

Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui apakah terdapat pengaruh perbedaan kartu kredit terhadap penggunaannya. Data di bawah ini  adalah jumlah uang yang dibelanjakan ibu rumah tangga menggunakan kartu kredit (dalam $). Empat jenis kartu kredit dibandingkan:

Jumlah yang dibelanjakan ($)
ASTRA	BCA	CITI	AMEX
8	12	19	13
7	11	20	12
10	16	15	14
19	10	18	15
11	12	19

Ujilah dengan α = 0.05, apakah terdapat pengaruh perbedaan kartu kredit pada penggunaannya?

Penyelesaian:

Jumlah yang dibelanjakan ($)
ASTRA	BCA	CITI	AMEX
8	12	19	13
7	11	20	12
10	16	15	14
19	10	18	15
11	12	19
T = 55	T = 61	T = 91	T = 54
n = 5	n = 5	n = 5	n = 4
=11	= 12.2	=18.2	= 13.5

Dari table di atas dapat dihitung:

Jumlah keseluruhan nilai: T = T₁ + T₂ + T₃ + T₄ = 55 + 61 + 91 + 54 = 261

SSE = SST – SSB = 279.658 – 149.08  =  130.6

Tabel ANOVA yang dibentuk:

Sumber Keragaman	Derajat Bebas (Degree of Freedom)	Jumlah Kuadrat (Sum Square)	Rata-rata Kuadrat (Mean Square)	Fhitung	Ftabel (lihat Tabel)
Antar Grup	v1 = 4–1= 3	149.08	149.08/ 3 = 49.69	5.71	F(3, 15)= 3.29
Dalam Grup (error)	v2 = 19–4= 15	130.6	130.6/ 15 = 8.71
Total	18	279.68

Pengujian Hipotesis:

H₀ : μ₁ =  μ₂  =  …  =  μ_k (semua sama)

H₁ : Tidak semuanya sama (minimal sepasang berbeda, μ_i ≠  μ_j untuk i ≠ j)

Statistik uji = F_hitung =  5.71     _{( Lihat tabel F disini)}                

Keputusan: Tolak H₀ , terima H₁ karena  F_hitung > F_tabel

Kesimpulan: Terdapat perbedaan pengaruh kartu kredit terhadap penggunaan uang yang dibelanjakan oleh ibu rumah tangga